VEKTOR DAN SKALAR
Vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah, contohnya:
perpindahan, kecepatan , gaya dan percepatan. Vektor dinotasikan dengan sebuah
huruf dengan anak panah diatasnya misal A, atau dicetak dengan huruf tebal misal
A atau yang lain sesuai perjanjian (pada tulisan ini digunakan huruf biasa tanpa
anak panah dan tidak dicetak tebal). Besar vektor A dinyatakan dengan A atau A.
Vektor A dapat pula dinyatakan dengan OP dan besarnya adalah OP.
Skalar adalah besaran yang mempunyai besar tetapi tanpa arah. Contoh
besaran adalah: massa, panjang, waktu, suhu, dan sebarang bilangan riil.
Skalar dinyatakan dengan huruf biasa seperti dalam aljabar elementer.
Operasi-operasi pada skalar mengikuti aturan-aturan yang sama seperti halnya
dalam aljabar elementer.
1.2 Aljabar Vektor
Definis-definisi yang mendasar pada vektor adalah sebagai berikut.
a. Duah buah vektor A dan B sama jika memiliki besar dan arah yang sama.
b. Sebuah vektor yang besarnya sama dengan vektor A, tetapi belawanan arah
dengan vector A dinyatakan dengan vektor –A.
c. Jumlah atau resultan dari vektor A dan B adalah vektor yang didefinisikan
dengan vektor C.
d. Selisih dari vektor A dan B diyatakan dengan A - B, adalah sebuah vektor C.
Jika A = B maka A - B adalah vektor nol (0). Untuk vector tak nol disebut
dengan vector sejati (proper vektor).
e. Hasil kali vektor A dengan skalar m adalah sebuah vektor sebesar mA.
Penjumlahan dan Pengurangan Vektor
a. Cara segitiga
Skalar adalah besaran yang mempunyai besar tetapi tanpa arah. Contoh
besaran adalah: massa, panjang, waktu, suhu, dan sebarang bilangan riil.
Skalar dinyatakan dengan huruf biasa seperti dalam aljabar elementer.
Operasi-operasi pada skalar mengikuti aturan-aturan yang sama seperti halnya
dalam aljabar elementer.
1.2 Aljabar Vektor
Definis-definisi yang mendasar pada vektor adalah sebagai berikut.
a. Duah buah vektor A dan B sama jika memiliki besar dan arah yang sama.
b. Sebuah vektor yang besarnya sama dengan vektor A, tetapi belawanan arah
dengan vector A dinyatakan dengan vektor –A.
c. Jumlah atau resultan dari vektor A dan B adalah vektor yang didefinisikan
dengan vektor C.
d. Selisih dari vektor A dan B diyatakan dengan A - B, adalah sebuah vektor C.
Jika A = B maka A - B adalah vektor nol (0). Untuk vector tak nol disebut
dengan vector sejati (proper vektor).
e. Hasil kali vektor A dengan skalar m adalah sebuah vektor sebesar mA.
Penjumlahan dan Pengurangan Vektor
a. Cara segitiga
2. Cara jajaran genjang
Vektor A + B adalah diagonal dengan pangkal A dan ujung B. Jumlah dari vektorvektor
yang merupakan sisi-sisi dari sebuah poligon tertutup senantiasa sama
dengan nol jika arah sisi-sisi tersebut beraturan (lihat gambar berikut)
P1P2 + P2P3 + P3P4 + P4P5 = P1P5. Jika arah P1P5 dibalik maka akan diperoleh
P1P2 + P2P3 + P3P4 + P5P1 = 0.
Perkalian Vektor dengan Skalar
Jika h adalah bilangan dan A adalah vektor, maka hA didefinisikan sebagaisebuah vektor yang besarnya h dikalikan dengan besarnya A dan mempunyai arahyang sama dengan A jika h positif dan hA berlawanan dengan A jika h negatif.
Vektor A + B adalah diagonal dengan pangkal A dan ujung B. Jumlah dari vektorvektor
yang merupakan sisi-sisi dari sebuah poligon tertutup senantiasa sama
dengan nol jika arah sisi-sisi tersebut beraturan (lihat gambar berikut)
P1P2 + P2P3 + P3P4 + P4P5 = P1P5. Jika arah P1P5 dibalik maka akan diperoleh
P1P2 + P2P3 + P3P4 + P5P1 = 0.
Perkalian Vektor dengan Skalar
Jika h adalah bilangan dan A adalah vektor, maka hA didefinisikan sebagaisebuah vektor yang besarnya h dikalikan dengan besarnya A dan mempunyai arahyang sama dengan A jika h positif dan hA berlawanan dengan A jika h negatif.
Hukum-Hukum Aljabar VektorJika A, B, dan C adalah vector-vektor dan m, n adalah skalar-skalar maka
a. A + B = B + A Hukum komutatif untuk penjumlahan
b. A + (B + C) = (A + B) + C Hukum assosiatif untuk penjumlahan
c. mA = Am Hukum komutatif untuk perkalian
d. m(nA) = (mn)A Hukum assosiatif untuk perkalian
e. (m + n)A = mA + nA Hukum distributif
f. m(A + B) = mA + mB Hukum distributif
g. A + B = C jika dan hanya jika B = C - A
h. A + 0 = A dan A – A = 0
Vektor Satuan
Vector satuan adalah vektor yang besarnya 1 satuan. Jika A sebuah vektordengan A ≠ 0 maka A/A adalah vektor satuan yang arahnya sama dengan A.
Vektor KomponenVektor A dalam ruang dimensi tiga vektor-vektor A1i, A2j dan A3kdisebut komponen-komponen tegak lurus atau vektor-vektor komponen dari Adalam arah x, y dan z. Resultan dari A1i, A2j dan A3k adalah vektor A sehinggadapat ditulis A= A1i + A2j +A3k. Besar vektor A adalah A =
Pada khususnya vektor posisi r dari O ketitik (x,y,z) ditulis R = xi + yj + zk dan besarnya
Pada khususnya vektor posisi r dari O ketitik (x,y,z) ditulis R = xi + yj + zk dan besarnya
Medan Skalar
Jika pada tiap-tiap titik (x,y,z) dari suatu daerah R dalam ruang dikaitkandengan sebuah bilangan atau skalar Φ(x,y,z) maka Φ disebut fungsi skalar darikedudukan dan dikatakan bahwa sebuah medan skalar didefinisikan dalam R.Contoh:
1. Temperatur pada setiap titik didalam atau diatas permukaan bumi pada suatusaat tertentu mendefinisikan sebuah medan skalar.
2. Φ(x,y,z) = x3y-z2 mendefinisikan sebuah medan skalar.Sebuah medan skalar yang tidak tergantung pada waktu disebut medan skalarstasioner.
Medan Vektor
Jika pada tiap-tiap titik (x,y,z) dari suatu daerah R dalam ruang dikaitkansebuah vektor V disebut fungsi vektor dari kedudukan atau fungsi titik vektor dandikatakan bahwa sebuah medan vektor V didefinisikan dalam R.
